BCW2011 Liquidation 逐步讲解#

建议在 快速开始 和 BCW2011 案例总览 之后阅读这一页。

这里对应的仓库脚本是：

  • src/example/BCW2011Liquidation.py

这一页重点看什么#

读完以后，你应该能够双向理解这个案例：

  • 从 BCW 论文里的 liquidation 方程走到 FinHJB 实现；

  • 从 FinHJB 里的类和求解流程，反推它们各自对应的经济含义。

这是最适合入门的一页，因为这个案例只有：

  • 一个状态变量，

  • 一个控制变量，

  • 一个内生边界 target，

  • 没有再融资，也没有分段 regime。

复现命令#

请在仓库根目录执行：

MPLBACKEND=Agg uv run python src/example/BCW2011Liquidation.py

这套 BCW 示例按“仓库根目录运行”的方式维护，不再围绕 src/example 内部本地直跑做兼容。

经济设定与状态降维#

BCW 原始问题写在资本 K 和现金 W 上。FinHJB 当前解的是利用齐次性降维后的单状态版本：

\[ P(K, W) = K p(w), \qquad w = W/K. \]

正是这一步，把原来的二维公司金融问题变成了当前包可以直接求解的一维 HJB。

论文里的核心对象对应为：

\[ P_K = p(w) - w p'(w), \qquad P_W = p'(w), \qquad P_{WW} = p''(w) / K. \]

在仓库对象里，这些量对应到：

  • grid.s：状态网格 w，

  • grid.v：价值资本比 p(w)，

  • grid.dv：现金的边际价值 p'(w)，

  • grid.d2v：曲率 p''(w)。

这个案例用到的论文方程#

Liquidation 案例使用的是 BCW 的内部融资 HJB，加上 liquidation / payout 边界。

HJB：Eq. (13)#

\[ r p(w) = \left(i(w) - \delta\right)\left(p(w) - w p'(w)\right) + \left((r-\lambda)w + \mu - i(w) - g(i(w))\right)p'(w) + \frac{\sigma^2}{2} p''(w). \]

在 BCW 的二次调整成本下，

\[ g(i) = \frac{\theta i^2}{2}. \]

投资 FOC：Eq. (14)#

\[ i(w) = \frac{1}{\theta}\left(\frac{p(w)}{p'(w)} - w - 1\right). \]

边界条件：Eq. (16)-(18)#

在 payout 边界 \bar w：

\[ p'(\bar w) = 1, \qquad p''(\bar w) = 0. \]

在 liquidation 边界：

\[ p(0) = l. \]

这些方程如何变成 FinHJB 对象#

仓库实现遵循一套很稳定的对象映射：

经济对象

FinHJB 对象

在本案例中的作用

基准参数

Parameter

保存 Table I 参数，如 r、delta、mu、sigma、theta、lambda_、l

左右边界值

Boundary

固定 p(0)=l，并提供 payout 侧的闭式 value

控制容器

PolicyDict

这里只保存单个控制 investment

投资更新

Policy

用隐式策略残差表达 Eq. (14)

HJB 残差

Model

在内部网格上实现 Eq. (13)

更具体地说：

  • Eq. (14) 通过 investment_rule_residual(...) 和 Policy.cal_investment(...) 实现；

  • Eq. (13) 通过 standard_hjb_residual(...) 和 Model.hjb_residual(...) 实现；

  • Boundary.compute_v_left(...) 返回 liquidation value l；

  • Boundary.compute_v_right(...) 使用与 Eq. (16) 一致的 payout 侧闭式。

这也是 FinHJB 里一维单控制模型最标准的组织方式：

  1. Parameter 放原始参数；

  2. Boundary 放边界值；

  3. PolicyDict 放控制变量；

  4. Policy 放 FOC 或显式控制更新；

  5. Model 放 HJB 本体。

为什么数值工作流是 boundary_search(method="bisection")#

Liquidation 案例数值上只需要搜索一个内生对象：

  • payout 边界 \bar w。

左边界已经固定为 w=0 且 p(0)=l。右边界则由 super-contact 条件决定：

\[ p''(\bar w) = 0. \]

在数值实现里，这变成：

  • 搜索 s_max = \bar w，

  • 检查 grid.d2v[-1]，

  • 当右尾曲率逼近零时停止。

这正是脚本使用一维 boundary_search() 加 bisection 的原因：

  • 只有一个未知 target，

  • 搜索区间在经济上很好设定，

  • 根条件是标量问题，bisection 很稳。

仓库里的边界逻辑到底分几层#

这个案例的边界信息可以分成三层：

  1. 左边界： Boundary.compute_v_left(...) = l

  2. 右边界 value： 脚本使用与 BCW payout region 相容的闭式边界值，并内含 p'(\bar w)=1

  3. 右边界 optimality target： super_contact_residual(grid) = grid.d2v[-1]

这三层必须区分开。FinHJB 里：

  • 边界值负责告诉求解器“网格边缘的 value 是什么”；

  • 边界 target 负责告诉外层搜索“边界本身应该往哪边移动”。

Figure 2：如何按经济含义读图#

BCW liquidation main figure

Panel A：p(w)#

价值资本比从 liquidation value l=0.9 出发，始终高于 liquidation line l+w，并在 \bar w \approx 0.22 附近平滑接入 payout boundary。

这对应 BCW 的核心结论之一：即使无法再融资，公司也不会在现金还大于零时提前清算。

Panel B：p'(w)#

当 w \to 0 时，边际现金价值迅速爆炸。因为在这个案例里，每一单位额外现金都能显著推迟被迫清算。

Panel C：i(w)#

在低现金区域，投资转成负值。用 BCW 的语言，这就是公司通过 asset sales 远离 liquidation boundary。

Panel D：i'(w)#

投资随现金上升，但不是线性的。这个对象比 i(w) 更直接地告诉你“投资-现金敏感度”。

稳定的量级检查#

健康运行通常应当看到：

  • \bar w \approx 0.22，

  • p'(0) \approx 30，

  • i(\bar w) \approx 10.5%，

  • w=0 附近投资显著为负，

  • p''(\bar w) 数值上接近零。

在解释更细的图形差异之前，先看这些量级是否站住。

代码检查模式#

from src.example.BCW2011Liquidation import run_case

bundle = run_case(number=1000)
result = bundle["results"]["baseline"]

print(result["summary"])
print(result["grid"].df.head())
print(result["grid"].df.tail())

这个案例最值得先看的量是：

  • result["summary"]["payout_boundary"]，

  • result["summary"]["dv_at_zero"]，

  • result["grid"].d2v[-1]，

  • result["grid"].policy["investment"]。

如何把这个模式迁移到自己的模型#

如果你的模型仍然具有下面这些结构，就优先从这个案例起步：

  • 一个降维后状态变量，

  • 一个控制变量，

  • 固定左边界，

  • 右端一个内生 payout boundary。

只有当你的模型真的需要以下结构时，才应跳到后面的案例：

  • 发行与 value matching，

  • 多控制变量，

  • 或按区域切换 residual。

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